Niech \( (f \circ g) \) oznacza złożenie funkcji \( g \) z \( f \), tj. \( (f \circ g)(x) = f(g(x)) \). Jeżeli funkcja rzeczywista \( f \) ma w przedziale \( I \) funkcję pierwotną \( F \) oraz funkcja \( g \) o wartościach w przedziale \( I \) ma skończoną pochodną w każdym punkcie przedziału \( J \), to funkcja \( (f \circ g)g^ {\prime} \) ma w przedziale \( J \) funkcję pierwotną. Ponadto
\( \int (f \circ g)(x) g^{\prime}(x)\, dx= \int f( g(x)) g^{\prime}(x)\, dx = F(g(x)) + c\, . \)
Uwaga 1:
Istota wzoru ( 1 ) polega na wprowadzeniu nowej zmiennej poprzez podstawienie \( t= g(x) \) w całce \( \int f( g(x)) g^{\prime}(x)\, dx \). Wówczas otrzymuje się równość
\( \int f( g(x)) g^ {\prime}(x)\, dx = \int f( t ) \, dt \mid_{t=g(x)} \, , \)
w której różniczka \( d g(x)= g^ {\prime} (x) dx \) oraz \( t= g(x) \).
Przykład 1:
Obliczmy całkę \( \int \frac{3x ^2}{1+x^6}\, dx \).
\( \int \frac{3x^2}{1+x^6} \, dx=\int \frac{1}{1+( x ^3 ) ^2} \cdot 3x^2 \, dx \, . \)
Zatem przedstawiliśmy funkcję podcałkową w postaci takiej jak we wzorze ( 1 ), gdzie \( f(t) = \frac{1}{1+t^2} \) oraz \( g(x)=x^3 \, . \) Zatem korzystając z powyższego twierdzenia oraz ze wzoru 9. w twierdzeniu wzory podstawowe, otrzymujemy
\( \int \frac{ 3x^ 2 }{1+x ^6 } \, dx =\int \frac{1}{1+ t^2} \, dt \mid_{t=x ^3 } =\text{arctg}\, t \, \mid_{t=x ^ 3} + c = \text{arctg}\, (x^ 3) + c \, . \)
Poniżej jeszcze raz wyznaczymy tą całkę stosując inny, tradycyjny zapis, który będziemy wykorzystywać w kolejnych przykładach.
\( \int \frac{3x^2}{1+ x ^6 }\, dx = \left|\begin{array}{rcl}t & = & x ^3 \\dt & = & 3 x^2 \, dx\end{array}\right| = \int \frac{1}{1+t ^2 } \, dt = \text{arctg}\, t + c =\text{arctg}\,( x ^3 ) + c \, . \)
W kolejnych przykładach oprócz twierdzenia o całkowaniu przez podstawianie będziemy wykorzystywać wzory podstawowe, twierdzenie o całce sumy oraz twierdzenie o wyciąganiu stałej przed znak całki.
Przykład 2:
Obliczmy całkę \( \int \sin x \cos x\, dx \).
\( \int \sin x \cos x\, dx= \left|\begin{array}{rcl}t & = & \sin x \\dt & = & \cos x \, dx\end{array}\right| = \int t \, dt= \frac{1}{2} t^ 2 + c =\frac{1}{2} \sin^ 2 x + c \, . \)
Przykład 3:
Obliczmy całkę \( \int \sqrt{2x + 1}\, dx \).
\( \int \sqrt{2x + 1}\, dx= \left|\begin{array}{rcl}t & = & 2 x+ 1 \\dt & = & 2 \, dx\\ \frac{1}{2} \, dt & = & dx \end{array} \right| = \frac{1}{2} \int t^ {\frac{1}{2}}\, dt= \frac{1}{2}\cdot \frac{2}{3} t^ {\frac{3}{2}} + c= \frac{1}{3}\sqrt{(2x+1) ^3 } + c \, . \)
Przykład 4:
Obliczmy całkę \( \int (3x+6) \left( x^2 + 4x -10 \right)^{1976}\,dx \)
\( \int (3x+6) \left( x^2 + 4x -10 \right)^{1976}\,dx= \left|\begin{array}{rcl}t & = & x^2 + 4x -10 \\ dt & = & (2x + 4) \, dx\\ \frac{3}{2} \, dt & = & (3x + 6)\, dx \end{array} \right| = \frac{3}{2} \int t^ {1976} \, dx = \frac{3}{2}\cdot \frac{t ^{1977}}{1977}+c \\ = \frac{3}{2\cdot 1977} (x^2 + 4x -10)^ {1977}+c = \frac{1}{1318}(x^2 + 4x -10)^ {1977}+c \, . \)
Przykład 5:
Obliczmy całkę \( \int \frac{1}{e^{5x}} \, dx \).
\( \int \frac{1}{e^{5x}} \, dx= \int e^{-5x} \, dx= \left|\begin{array}{rcl}t & = & -5x\\ dt & = & -5\, dx \\ -\frac{1}{5}\, dt & = & dx \end{array} \right|= -\frac{1}{5} \int e^t \, dt = -\frac{1}{5} e^t + c = -\frac{1}{5} e^{-5x} + c= -\frac{1}{5e^{5x}} + c \, . \)
Przykład 6:
Obliczmy całkę \( \int \frac{x}{\sqrt{1-9x ^4}} \, dx \).
\( \int \frac{x}{\sqrt{1-9x ^4}} \, dx= \int \frac{x}{\sqrt{1-(3x ^2) ^2}} \, dx= \left|\begin{array}{rcl}t & = & 3x ^2\\dt & = & 6x \, dx \\ \frac{1}{6}\, dt & = & x\, dx \end{array} \right|= \frac{1}{6} \int \frac{1}{\sqrt{1-t ^2}}\, dt= \frac{1}{6} \arcsin t + c= \frac{1}{6}\arcsin (3x ^2 ) + c \, . \)
Przykład 7:
Obliczmy całkę \( \int \frac{dx}{e^ {-5x } + e^ {5x}} \).
\( \int \frac{dx}{e^ {-5x } + e^ {5x}}= \int \frac{e ^{5x}}{1 + (e^ {5x})^2} \, dx= \left|\begin{array}{rcl}t & = & e^ {5x}\\dt & = & 5 e^ {5x} \, dx \\\frac{1}{5}\, dt & = &e^ {5x}\, dx\end{array}\right|= \frac{1}{5} \int \frac{dt}{1+ t ^2}\, dt= \frac{1}{5} \text{arctg}\, t + c= \frac{1}{5}\text{arctg}\, (e^ {5x} ) + c \, . \)
Przykład 8:
Obliczmy całkę \( \int \frac{x+3}{\sqrt[5]{x-1}} \, dx \).
\( \int \frac{x+3}{\sqrt[5]{x-1}} \, dx= \left|\begin{array}{rcl}t & = & x-1\\t+1 & = & x\\dt & = & dx\end{array}\right|= \int \frac{t+1+3}{\sqrt[5]{t}} \, dt= \int t^{1-\frac{1}{5}}\, dt + 4\int t^ {-\frac{1}{5}}\, dt= \frac{5}{9}t^ {\frac{9}{5}} +4\cdot \frac{5}{4}t^ {\frac{4}{5}}+c \\ = \frac{5}{9} (x-1)^ {\frac{9}{5}} + 5( x-1)^ {\frac{4}{5}}+c \, . \)
Przykład 9:
Obliczmy całkę \( \int \frac{1}{x\cos ^2 (\text{ln}\, x) }\, dx \).
\( \int \frac{1}{x\cos ^2 (\text{ln}\, x )}\, dx= \int \frac{1}{\cos ^2 (\text{ln}\, x )}\cdot\frac{1}{x}\, dx= \left|\begin{array}{rcl}t & = & \text{ln}\, x\\dt & = & \frac{1}{x} \, dx \end{array}\right|= \int \frac{1}{\cos ^2 t}\, dt= \text{tg}\,t + c= \text{tg}\,( \text{ln}\, x) + c \, . \)
Przykład 10:
Obliczmy całkę z funkcji trygonometrycznej \( \text{ctg}\, x \).
\( \int \text{ctg}\, x\, dx = \int \frac{\cos x}{\sin x}\,dx = \int \cos x \cdot \frac{1}{\sin x}\,dx= \left|\begin{array}{rcl}t &=&\sin x\\dt&=& \cos x \, dx\end{array}\right|= \int \frac{dt}{t}= \text{ln}\, |t|+c= \text{ln}\, |\sin x|+c \, . \)
\( \int \frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}\, dx= \text{ln}\, |f(x)|+c \, . \)
Przykład 11:
Obliczmy całkę z funkcji trygonometrycznej \( \text{tg}\, x \).
\( \int \text{tg}\, x\, dx = \int \frac{\sin x}{\cos x}\,dx = -\int \frac{-\sin x}{\cos x}\,dx = -\int \frac{(\cos x)^ {\prime} }{\cos x}\,dx = -\text{ln}\, |\cos x|+c \, . \)
Przykład 12:
Obliczmy całkę \( \int \frac{1}{7x-5}\, dx \).
\( \int \frac{1}{7x-5}\, dx= \frac{1}{7}\int \frac{7}{7x-5}\, dx= \frac{1}{7}\int \frac{(7x-5)^{\prime}}{7x-5}\, dx= \frac{1}{7}\text{ln}\, |7x-5| + c \, . \)
Przykład 13:
Obliczmy całkę \( \int \frac{1}{3-4x}\, dx \)
\( \int \frac{1}{3-4x}\, dx= -\frac{1}{4}\int \frac{-4}{3-4x}\, dx= -\frac{1}{4}\text{ln}\, |3-4x| + c \, . \)
Przykład 14:
Obliczmy całkę \( \int \text{tg}\, {3x}\, dx \).
\( \int \text{tg}\, {3x}\, dx= \left|\begin{array}{rcl}t &=& 3x\\dt&=& 3 \, dx\\\frac{1}{3} \, dt & = & dx\end{array}\right|= \frac{1}{3} \int \text{tg}\, t\, dt= -\frac{1}{3} \int\frac{-\sin t}{\cos t}\, dt= -\frac{1}{3} \text{ln}\, |\cos t| + c = -\frac{1}{3} \text{ln}\, |\cos 3x| + c \, . \)
Przykład 15:
Obliczmy całkę \( \int \frac{2^x}{2^x-1}\, dx \).
Wyznaczmy pochodną mianownika:
\( (2^x-1)^ {\prime}= (2^x)^{\prime}=\text{ln}\, 2 \cdot 2^x\, . \)
Wówczas
\( \int \frac{2^x}{2^x-1}\, dx= \frac{1}{\text{ln}\, 2} \int \frac{(2^x-1)^ {\prime}}{2^x-1}\, dx= \frac{1}{\text{ln}\, 2}\text{ln}\, |2^x-1| + c =\log_2 |2^x-1| + c \, . \)
Przykład 16:
Obliczmy całkę \( \int \frac{2 \cos 2x}{\sin 2x} \, dx \).
Pierwszy sposób:
\( \int \frac{2 \cos 2x}{\sin 2x} \, dx = \int \frac{(\sin 2x)^ {\prime}}{\sin 2x}\, dx= \text{ln}\, | \sin 2x | + c_1 \, . \)
Drugi sposób:
\( \int \frac{2 \cos 2x}{\sin 2x} \, dx = \left| \begin{array}{rcl} t &=& 2x\\ dt&=& 2 \, dx \end{array} \right|= \int\frac{\cos t}{\sin t}\, dt= \int\frac{(\sin t) ^{\prime}}{\sin t}\, dt= \text{ln}\, |\sin t| + c_2 = \text{ln}\, |\sin 2x| + c_2 \, . \)
Trzeci sposób:
\( \int \frac{2 \cos 2x}{\sin 2x} \, dx = \int \frac{2(\cos ^2 x - \sin ^2 x)}{2\sin x \cos x } \, dx= \int \frac{\cos x}{\sin x}\, dx + \int \frac{-\sin x}{\cos x }\, dx = \int \frac{( \sin x)^ {\prime}}{\sin x}\, dx + \int \frac{(\cos x )^ {\prime}}{\cos x }\, dx \\ = \text{ln}\, |\sin x| + \text{ln}\,|\cos x | + c_3 = \text{ln}\, |2\sin x \cos x| - \text{ln}\, 2 + c_3= \text{ln}\, | \sin 2x | + c_1 \, . \)
Uwaga 2:
Całkę nieoznaczoną można obliczyć na kilka sposobów. Wynik otrzymany różnymi metodami jest oczywiście ten sam, jednak poszukiwana rodzina wszystkich funkcji pierwotnych (całka nieoznaczona) może być opisana na różne sposoby, tzn. przedstawiona przy pomocy innych funkcji pierwotnych.
Innymi słowy, jeśli rozważamy dwa opisy całki nieoznaczonej funkcji \( f \) przy pomocy istotnie różnych funkcji pierwotnych \( F \) i \( G \), tj. rodzinę \( F(x) + c \) oraz rodzinę \( G(x) + c \), gdzie \( c \in \mathbb{R} \), to zgodnie z twierdzeniem o funkcji pierwotnej funkcje \( F \) i \( G \) różnią się tylko o stałą, a zatem definiują tą samą rodzinę, tj. całkę nieoznaczoną.
Przykład 17:
Obliczmy całkę \( \int \sin x \cos x \, dx \).
Pierwszy sposób:
\( \int \sin x \cos x \, dx = \frac12 \int \sin 2x \, dx = \left| \begin{array}{rcl} t &=& 2x\\ dt&=& 2 \, dx \end{array}\right|= \frac14 \int \sin t \, dt = -\frac14 \cos t + c = -\frac14 \cos 2x + c \, . \)
Drugi sposób:
\( \int \sin x \cos x \, dx = \left|\begin{array}{rcl} t &=& \sin x\\ dt&=& \cos x \, dx \end{array}\right|= \int t dt = \frac{t^2}{2} + c =\frac{\sin ^2 x}{2} + c. \)
Z powyższej uwagi wiadomo, że wyrażenia \( -\frac14 \cos 2x \) oraz \( \frac12 \sin ^2 x \) mogą się różnić jedynie o stałą. I rzeczywiście
\( \frac12 \sin ^2 x - \left( -\frac14 \cos 2x \right) = \frac14 \left( 2 \sin ^2 x + \cos 2x \right) = \frac 14 \left(2 \sin ^2 x + \cos ^2 x - \sin ^2 x \right) = \frac14 \, . \)
